1 集合与点集

1.1 集合与子集合

定义. (集合) (Cantor) 集合 (set) 是指把具有某种特征或满足一定性质的所有对象或事物视为一个整体时，这一整体就称为集合，而这些事物或对象就称为属于该集合的元素。

定义. (子集) 对于两个集合 与 ，若 必有 () ，则称 是 的子集合，简称 是 的子集，记为 也称为 含于 或 包含 。显然，。若 且存在 中元素不属于 ，则称 是 的真子集，记为 。为了论述与运算的方便，我们还指定一种所谓空集，它是不包含任何元素的集合，记为 。

定义. (集合的相等) 设 是两个集合。若 且 ，则称集合 与 相等或相同，记为 。

定义. (集合族与集合列) 设 是给定的一个集合。对于每一个 ，我们指定一个集合 ，这样我们就得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为 或 。这里的 常称为指标集。当 时，集合族也称为集合列，简记为 或 等。

1.2 集合的运算

定义. (集合的并) 设 是两个集合，称集合 为 与 的并集，记为 ，它是由 与 的全部元素构成的集合。

定义. (集合的交) 设 是两个集合，称集合 为 与 的交集，记为 ，它是由 与 的公共元素构成的集合。若 ，则称 与 互不相交。

定理. (集合的运算律) 设有集合 与 ，则

1. 交换律：
2. 结合律：
3. 分配律：

定义. (集合的差与补) 设 是两个集合，称 为 与 的差集，记为 （读作 减 ）它是由在集合 中而不在集合 中的一切元素构成的集合。在上述定义中，当 是 的子集时，称 为集合 相对于集合 的补集或余集。通常，在我们讨论问题的范围内，所涉及的集合总是某个给定的 “大” 集合 的子集，我们称 为全集。此时，集合 相对于全集 的补集就简称为 的补集或余集，并记为 或 即：

命题. (差与补的性质)

• ；
• ；
• 若 ，则 ；若 ，则 。

定理. (De Morgan法则)

1. ；
2. 。

定义. (对称差) 设 为两个集合，称集合 为 与 的对称差集，记为 ，它是由既属于 之一但又不同时属于两者的一切元素构成的集合。

命题. (对称差的性质)

1. ；
2. 交换律：；
3. 结合律：；
4. 交与对称差满足分配律：
5. 当且仅当 ；
6. 对任意的集合 与 ，存在唯一的集合 ，使得 （实际上 ）

定义. (极限集) 设 是一个集合列。 若 满足： 则称 为递减集合列，此时称其交集 为集合列 的极限集，记为 ； 若 满足： 则称 为递增集合列，此时称其并集 为集合列 的极限集，记为 。

定义. (上极限集与下极限集) 设 是任一集合列，令 显然有 （ 是递减集合列）。我们称 为集合列 的上极限集，简称为上限集，记为 类似地，称集合 为集合列 的下极限集，简称为下限集，记为 若上、下限集相等，则说 的极限集存在并等于上限集或下限集，记为 。

命题. (上下极限集的性质) 1. ； 2. 。

命题. (上下极限集的等价命题) 若 为一集合列，则：

1. ；
2. 。 这就是说， 的上限集是由属于 中无穷多个集合的元素所形成的； 的下限集是由只不属于 中有限多个集合的元素所形成的。从而立即可知

定义. (直积集) 设 是两个集合，称一切有序 “元素对” （其中 ）形成的集合为 与 的直积集，记为 ，即 其中 是指 。 也记为 。

1.3 映射与基数

定义. (映射与像) 设 为两个非空集合。若对每个 ，均存在唯一的 与之对应，则称这个对应为映射（变换或函数）若用 表示这种对应，则记为： 并称 是从 到 的一个映射。此时， 在 中的对应元 称为 在映射 下的 （映）像， 称为 的一个原像，记为 。若对每一个 ，均有 ，使得 ，则称此 为从 到 的满射，或称 为 到 上的映射。

定义. (像集与原像集) 对于 以及 ，我们记 并称 为集合 在映射 下的 （映）像集（） 对于 以及 ，我们记 并称 为集合 在映射 下的原像集。

命题. (像集的运算性质)

1. ；
2. 。

命题. (原像集的运算性质)

1. 若 ，则 ；
2. ；
3. ；
4. 。

定义. (单射与一一映射) 设 。若当 且 时，有 即 中不同元有不同的像，则称 是从 到 的一个单射。若 既是单射又是满射，则称 为 到 上的一一映射。在 是 到 上的一一映射的情况下，对 中的每一个元 ，就有 中的唯一元 ，使得 。从而我们又可作 到 上的映射 其中 由关系 确定，并称 为 的逆映射，记为 。于是，当 为 到 上的一一映射时，我们就说在 与 之间存在一一对应。

推论. 若 是单射，则 是 到 上的一一映射。

定义. (复合映射) 设 ，则由 定义的 称为 与 的复合映射。

定义. (函数与特征函数) 当 是 时， 一般称为函数。特别地，对于 中的子集 ，我们作 且称 是定义在 上的 的特征函数。

命题. (特征函数的性质)

1. ；
2. ；
3. ；
4. 。

定义. (幂集) 设 是一个非空集合，由 的一切子集（包括 自身）为元素形成的集合称为 的幂集，记为 。

定义 (对等) 设有集合 与 。若存在一个从 到 上的一一映射，则称集合 与 对等（也就是说，可以把 与 的全部元素通过映射一一对应起来）记为 。

命题. (对等关系的性质)

1. ；
2. 若 , 则 ；
3. 若 ，则 。

引理. (集合在映射下的分解) 若有 ，则存在分解 其中 以及 。

定理. (Cantor-Bernstein 定理) 若集合 与 的某个真子集对等， 与 的某个真子集对等，则 。

推论. 设集合 满足下述关系： 若 ，则 。

定义. (集合的基数或势) 设 是两个集合，如果 ，那么我们就说 与 的基数 (cardinal number) 或势是相同的，记为 。

命题. (集合的基数与映射的关系) 以下等价：

1. ；
2. 与 ( 与 ) 的一个子集对等；
3. 存在 到 的单射（满射）

定义. (有限集与可列集) 设 是一个集合。如果存在自然数 ，使得 ，则称 为有限集，且用同一符号 记 的基数。记自然数集 的基数为 （读作阿列夫 (Aleph) 零）若集合 的基数为 ，则 叫作可列集。

定理. 任一无限集 必包含一个可列子集。即 是无限集的最小基数。

定理. 若 为可列集，则并集 也是可列集。

例. 有理数集 是可列集。

例. 设 是可列集，则 是可列集， 是可列集。

命题. 中互不相交的开区间族是可数集。

推论. 上单调函数的不连续点集为可数集。

命题.

1. 设 是定义在 上的实值函数，则点集 是可数集；
2. 设 是定义在 上的实值函数，则 的第一类间断点之集是可数集；
3. 设 是定义在 上的实值函数，则点集是可数集。

定理. 设 是无限集且其基数为 。若 是至多可列集，则 的基数仍为 。

定理. 集合 为无限集的充分且必要条件是 与其某真子集对等。

定义. (连续基数) 称 的基数为连续基数，记为 ，易知 。

定理. 设有集合列 。若每个 的基数都是连续基数，则其并集 的基数是连续基数。

定理. (无最大基数定理) 若 是非空集合，则 与其幂集 （由 的一切子集所构成的集合族）不对等。

1.4 中点与点之间的距离 · 点集的极限点

定义. (的向量空间结构) 记一切有序数组 的全体为 ，其中 是实数，称 为 的第 个坐标，并定义运算如下：

1. 加法：对于 以及 ，令
2. 数乘：对于 ，令 在上述两种运算下 构成一个向量空间。对于 ，记 其中除第 个坐标为 ，外其余皆为 。 组成 的基底，从而 是实数域上的 维向量空间，并称 为 中的向量或点。当每个 均为有理数时， 称为有理点。

定义. (中的度量) 设 ，令 称 为向量 的模或长度。

命题. (模的性质)

1. 。 当且仅当 ；
2. 对任意的 ，有 ；
3. ；
4. (Cauchy-Schwartz) 设 ，则有

定义. (的度量空间结构) 是一个距离空间，其中 且满足：

1. 当且仅当 ；
2. ；
3. ； 称 为 维欧氏空间。

定义. (集合的直径与有界集) 设 是 中一些点形成的集合，令 称为点集 的直径。若 ，则称 为有界集。

命题. (有界的等价命题) 是有界集的充分且必要条件是，存在 ，使得一切 都满足 。

定义. (中的球与邻域) 设 ，称点集 为 中以 为中心，以 为半径的开球，也称为 的 (球)邻域，记为 ，从而称 为闭球，记为 。 中以 为中心，以 为半径的球面是

定义. (中的矩体与方体) 设 皆为实数，且 , ，称点集 为 中的开矩体（ 时为矩形， 时为区间）即直积集 类似地， 中的闭矩体以及半开闭矩体就是直积集 称 为矩体的边长。若各边长都相等，则称矩体为方体。 矩体也常用符号 等表示，其体积用 等表示。若 ，则