Real Analysis

1 集合与点集

1.1 集合与子集合

定义. (集合) (Cantor) 集合 (set) 是指把具有某种特征或满足一定性质的所有对象或事物视为一个整体时，这一整体就称为集合，而这些事物或对象就称为属于该集合的元素。

定义. (子集) 对于两个集合 与 ，若 必有 () ，则称 是 的子集合，简称 是 的子集，记为 也称为 含于 或 包含 。显然，。若 且存在 中元素不属于 ，则称 是 的真子集，记为 。为了论述与运算的方便，我们还指定一种所谓空集，它是不包含任何元素的集合，记为 。

定义. (集合的相等) 设 是两个集合。若 且 ，则称集合 与 相等或相同，记为 。

定义. (集合族与集合列) 设 是给定的一个集合。对于每一个 ，我们指定一个集合 ，这样我们就得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为 或 。这里的 常称为指标集。当 时，集合族也称为集合列，简记为 或 等。

1.2 集合的运算

定义. (集合的并) 设 是两个集合，称集合 为 与 的并集，记为 ，它是由 与 的全部元素构成的集合。

定义. (集合的交) 设 是两个集合，称集合 为 与 的交集，记为 ，它是由 与 的公共元素构成的集合。若 ，则称 与 互不相交。

定理. (集合的运算律) 设有集合 与 ，则

1. 交换律：
2. 结合律：
3. 分配律：

定义. (集合的差与补) 设 是两个集合，称 为 与 的差集，记为 （读作 减 ）它是由在集合 中而不在集合 中的一切元素构成的集合。在上述定义中，当 是 的子集时，称 为集合 相对于集合 的补集或余集。通常，在我们讨论问题的范围内，所涉及的集合总是某个给定的 “大” 集合 的子集，我们称 为全集。此时，集合 相对于全集 的补集就简称为 的补集或余集，并记为 或 即：

命题. (差与补的性质)

• ；
• ；
• 若 ，则 ；若 ，则 。

定理. (De Morgan法则)

1. ；
2. 。

定义. (对称差) 设 为两个集合，称集合 为 与 的对称差集，记为 ，它是由既属于 之一但又不同时属于两者的一切元素构成的集合。

命题. (对称差的性质)

1. ；
2. 交换律：；
3. 结合律：；
4. 交与对称差满足分配律：
5. 当且仅当 ；
6. 对任意的集合 与 ，存在唯一的集合 ，使得 （实际上 ）

定义. (极限集) 设 是一个集合列。 若 满足： 则称 为递减集合列，此时称其交集 为集合列 的极限集，记为 ； 若 满足： 则称 为递增集合列，此时称其并集 为集合列 的极限集，记为 。

定义. (上极限集与下极限集) 设 是任一集合列，令 显然有 （ 是递减集合列）。我们称 为集合列 的上极限集，简称为上限集，记为 类似地，称集合 为集合列 的下极限集，简称为下限集，记为 若上、下限集相等，则说 的极限集存在并等于上限集或下限集，记为 。

命题. (上下极限集的性质) 1. ； 2. 。

命题. (上下极限集的等价命题) 若 为一集合列，则：

1. ；
2. 。 这就是说， 的上限集是由属于 中无穷多个集合的元素所形成的； 的下限集是由只不属于 中有限多个集合的元素所形成的。从而立即可知

定义. (直积集) 设 是两个集合，称一切有序 “元素对” （其中 ）形成的集合为 与 的直积集，记为 ，即 其中 是指 。 也记为 。

1.3 映射与基数

定义. (映射与像) 设 为两个非空集合。若对每个 ，均存在唯一的 与之对应，则称这个对应为映射（变换或函数）若用 表示这种对应，则记为： 并称 是从 到 的一个映射。此时， 在 中的对应元 称为 在映射 下的 （映）像， 称为 的一个原像，记为 。若对每一个 ，均有 ，使得 ，则称此 为从 到 的满射，或称 为 到 上的映射。

定义. (像集与原像集) 对于 以及 ，我们记 并称 为集合 在映射 下的 （映）像集（） 对于 以及 ，我们记 并称 为集合 在映射 下的原像集。

命题. (像集的运算性质)

1. ；
2. 。

命题. (原像集的运算性质)

1. 若 ，则 ；
2. ；
3. ；
4. 。

定义. (单射与一一映射) 设 。若当 且 时，有 即 中不同元有不同的像，则称 是从 到 的一个单射。若 既是单射又是满射，则称 为 到 上的一一映射。在 是 到 上的一一映射的情况下，对 中的每一个元 ，就有 中的唯一元 ，使得 。从而我们又可作 到 上的映射 其中 由关系 确定，并称 为 的逆映射，记为 。于是，当 为 到 上的一一映射时，我们就说在 与 之间存在一一对应。

推论. 若 是单射，则 是 到 上的一一映射。

定义. (复合映射) 设 ，则由 定义的 称为 与 的复合映射。

定义. (函数与特征函数) 当 是 时， 一般称为函数。特别地，对于 中的子集 ，我们作 且称 是定义在 上的 的特征函数。

命题. (特征函数的性质)

1. ；
2. ；
3. ；
4. 。

定义. (幂集) 设 是一个非空集合，由 的一切子集（包括 自身）为元素形成的集合称为 的幂集，记为 。

定义 (对等) 设有集合 与 。若存在一个从 到 上的一一映射，则称集合 与 对等（也就是说，可以把 与 的全部元素通过映射一一对应起来）记为 。

命题. (对等关系的性质)

1. ；
2. 若 , 则 ；
3. 若 ，则 。

引理. (集合在映射下的分解) 若有 ，则存在分解 其中 以及 。

定理. (Cantor-Bernstein 定理) 若集合 与 的某个真子集对等， 与 的某个真子集对等，则 。

推论. 设集合 满足下述关系： 若 ，则 。

定义. (集合的基数或势) 设 是两个集合，如果 ，那么我们就说 与 的基数 (cardinal number) 或势是相同的，记为 。

命题. (集合的基数与映射的关系) 以下等价：

1. ；
2. 与 ( 与 ) 的一个子集对等；
3. 存在 到 的单射（满射）

定义. (有限集与可列集) 设 是一个集合。如果存在自然数 ，使得 ，则称 为有限集，且用同一符号 记 的基数。记自然数集 的基数为 （读作阿列夫 (Aleph) 零）若集合 的基数为 ，则 叫作可列集。

定理. 任一无限集 必包含一个可列子集。即 是无限集的最小基数。

定理. 若 为可列集，则并集 也是可列集。

例. 有理数集 是可列集。

例. 设 是可列集，则 是可列集， 是可列集。

命题. 中互不相交的开区间族是可数集。

推论. 上单调函数的不连续点集为可数集。

命题.

1. 设 是定义在 上的实值函数，则点集 是可数集；
2. 设 是定义在 上的实值函数，则 的第一类间断点之集是可数集；
3. 设 是定义在 上的实值函数，则点集是可数集。

定理. 设 是无限集且其基数为 。若 是至多可列集，则 的基数仍为 。

定理. 集合 为无限集的充分且必要条件是 与其某真子集对等。

定义. (连续基数) 称 的基数为连续基数，记为 ，易知 。

定理. 设有集合列 。若每个 的基数都是连续基数，则其并集 的基数是连续基数。

定理. (无最大基数定理) 若 是非空集合，则 与其幂集 （由 的一切子集所构成的集合族）不对等。

1.4 中点与点之间的距离 · 点集的极限点

定义. (的向量空间结构) 记一切有序数组 的全体为 ，其中 是实数，称 为 的第 个坐标，并定义运算如下：

1. 加法：对于 以及 ，令
2. 数乘：对于 ，令 在上述两种运算下 构成一个向量空间。对于 ，记 其中除第 个坐标为 ，外其余皆为 。 组成 的基底，从而 是实数域上的 维向量空间，并称 为 中的向量或点。当每个 均为有理数时， 称为有理点。

定义. (中的度量) 设 ，令 称 为向量 的模或长度。

命题. (模的性质)

1. 。 当且仅当 ；
2. 对任意的 ，有 ；
3. ；
4. (Cauchy-Schwartz) 设 ，则有

定义. (的度量空间结构) 是一个距离空间，其中 且满足：

1. 当且仅当 ；
2. ；
3. ； 称 为 维欧氏空间。

定义. (集合的直径与有界集) 设 是 中一些点形成的集合，令 称为点集 的直径。若 ，则称 为有界集。

命题. (有界的等价命题) 是有界集的充分且必要条件是，存在 ，使得一切 都满足 。

定义. (中的球与邻域) 设 ，称点集 为 中以 为中心，以 为半径的开球，也称为 的 (球)邻域，记为 ，从而称 为闭球，记为 。 中以 为中心，以 为半径的球面是

定义. (中的矩体与方体) 设 皆为实数，且 , ，称点集 为 中的开矩体（ 时为矩形， 时为区间）即直积集 类似地， 中的闭矩体以及半开闭矩体就是直积集 称 为矩体的边长。若各边长都相等，则称矩体为方体。 矩体也常用符号 等表示，其体积用 等表示。若 ，则

定义. ( 中的收敛) 设 。若存在 ，使得 则称 为 中的收敛（于 的）点列，称 为它的极限，并简记为

定理. ( 中的 Cauchy 收敛原理) 令 ，则 是收敛列的充分必要条件是：（也称 为 Cauchy 列或基本列）

定义. (极限点与导集) 设 。若存在 中的互异点列 ，使得 则称 为 的极限点（或聚点） 的极限点全体记为 ，称为 的导集。特别地，有限集是不存在极限点的。

定理. (极限点的刻画) 若 ，则 当且仅当对任意的 ，有 。

定义. (孤立点) 设 。若 中的点 不是 的极限点，即存在 ，使得 则称 为 的孤立点，即 。

定理. 设 , 则 。

定理 (Bolzano-Weierstrass) 中任一有界无限点集 至少有一个极限点。

1.5 中的基本点集：闭集 · Borel 集 · Cantor 集

定义. (闭集与闭包) 设 。若 （即 包含 的一切极限点）则称 为闭集（这里规定空集为闭集）记 ，并称 为 的闭包（ 为闭集就是 ）

例. 中的闭矩体是闭集； 本身是闭集；有理数集 的闭包是 。

定义. (稠密) 若 且 ，则称 在 中稠密，或称 是 的稠密子集。

定理. (闭集的运算性质)

1. 若 是 中的闭集，则其并集 也是闭集，从而有限多个闭集的并集是闭集；
2. 若 是 中的一个闭集族，则其交集 是闭集。

命题. 设 ，则

定理. (Cantor 闭集套定理) 若 是 中的非空有界闭集列，且满足 ，则 。

定义. (开集) 设 。若 是闭集，则称 为开集。

例. 本身与空集 是开集； 中的开矩体是开集；闭集的补集是开集。

定理 (开集的运算性质)

1. 若 是 中的一个开集族，则其并集 是开集；
2. 若 是 中的开集，则其交集 是开集（有限个开集的交集是开集）
3. 若 是 中的非空点集，则 是开集的充分必要条件是：对于 中任一点 ，存在 ，使得 。

定义. (内点与边界点) 设 。对 ，若存在 ，使得 ，则称 为 的内点。 的内点全体记为 ，称为 的内核。若 但 ，则称 为 的边界点。边界点全体记为 ，称为 的边界。

定义. (实函数的振幅) 设函数 在 上有定义。令 我们称 为 在 处的振幅。

命题. 若 是 中的开集，且 定义在 上，则对任意的 ，点集 是开集。

定理.

1. 中的非空开集是可数个互不相交的开区间（这里也包括 ， 以及 ）的并集；
2. 中的非空开集 是可列个互不相交的半开闭方体的并集。

引理. 中存在由可列个开集构成的开集族 ： 使得 中任一开集均是 中某些开集的并集。

定义. (覆盖) 设 ， 是 中的一个开集族。若对任意的 ，存在 ，使得 ，则称 为 的一个开覆盖。设 是 的一个开覆盖。若 仍是 的一个开覆盖，则称 为 (关于 )的一个子覆盖。

引理. 中点集 的任一开覆盖 都含有一个可数子覆盖。

定理. (Heine-Borel 有限子覆盖定理) 中有界闭集的任一开覆盖均含有一个有限子覆盖。设 ，如果 的任一开覆盖均包含有限子覆盖，我们就称 为紧集。

定理. 设 ，若 的任一开覆盖都包含有限子覆盖，则 是有界闭集。即 中的紧集就是有界闭集。

定义. (上的连续函数) 设 是定义在 上的实值函数，。如果对任意的 ，存在 ，使得当 时，有 则称 在 处连续，称 为 的一个连续点（在 的情形，即 是 的孤立点时， 自然在 处连续）若 中的任一点皆为 的连续点，则称 在 上连续。记 上的连续函数之全体为 。

命题. (连续函数的运算性质) 对于 中的函数，同样也有类似四则运算的性质。

命题. (闭集上连续函数的性质) 设 是 中的有界闭集，，则：

1. 是 上的有界函数，即 是 中的有界集；
2. 存在 ，使得
3. 在 上是一致连续的，即对任给的 ，存在 ，当 且 时，有 ；
4. 若 上的连续函数列 一致收敛于 ，则 是 上的连续函数。

定义. ( 集) 若 是可数个闭集的并集，则称 为 集；若 是可数个开集的交集，则称 为 集。

命题. 集的补集是 集； 集的补集是 集。

定义. (-代数) 设 是由集合 的一些子集所构成的集合族且满足下述条件：

1. ；
2. 若 ，则 ；
3. 若 ，则 。 这时称 是一个 -代数。

命题. (-代数的性质)

1. 若 ，则 ；
2. 若 ，则
3. 若 ，则 ；
4. 。

定义 (生成 -代数) 设 是集合 的一些子集所构成的集合族，考虑包含 的 -代数 （即若 ，必有 ，这样的 是存在的，如 ）记包含 的最小 -代数为 。也就是说，对任一包含 的 代数 ，若 ，则 ，称 为由 生成的 -代数。

定义. (Borel 集) 由 中一切开集构成的开集族所生成的 -代数称为 Borel 代数，记为 。 中的元称为 Borel 集。

例. 中的闭集、开集、 集与 集皆为 Borel 集；任一 Borel 集的补集是 Borel 集；Borel 集列的并、交、上（下）限集皆为 Borel 集。

定义. (Baire 第一函数类) 称区间 上连续函数列的极限函数 的全体为 Baire 第一函数类，记为 。

命题. 若 ，且 在 上一致收敛于 ，则 。

定理. (Baire 定理) 设 是 集，即 ， 是闭集。若每个 皆无内点，则 也无内点。

定义. (Baire 第一纲集与 Baire 第二纲集) 设 。若 ，则称 为 中的稠密集；若 ，则称 为 中的无处稠密集；可数个无处稠密集的并集称为贫集或第一纲集。不是第一纲集称为第二纲集。

定义. (Cantor 集) 设 ，将 三等分，并移去中央三分开区间 记其留存部分为 ，即 再将 中的区间 及 各三等分，并移去中央三分开区间 记 中留存的部分为 即 一般地说，设所得剩余部分为 ，则将 中每个（互不相交）区间三等分，并移去中央三分开区间，记其留存部分为 ，如此等等。从而我们得到集合列 ，其中 作点集 ，我们称 为 Cantor（三分）集。

命题. (Cantor 集的基本性质)

1. 是非空有界闭集；
2. （具有性质： 的集合称为完全集）
3. 无内点；
4. Cantor 集的基数是 。

定义. (Cantor 函数) 设 是 中的 Cantor 集，其中的点我们用三进位小数 来表示。

1. 作定义在 上的函数 。对于 ，定义因为 中的点可用二进位小数表示，所以有 。
2. 作定义在 上的函数 。对于 ，定义我们称 为 Cantor 函数。 ![[CantorFunction.png]]

命题. (Cantor 函数的性质)

1. 是 上的递增函数；
2. 是 上的连续函数；
3. 在构造 Cantor 集的过程中所移去的每个中央三分开区间 上， 是常数。

1.6 点集间的距离

定义. (距离) 设 ， 是 中的非空点集，称 为点 到 的距离； 若 是 中的非空点集，称 为 与 之间的距离。也可等价地定义为

定理. 若 是非空闭集，且 ，则存在 ，有 。

定理. 若 是 中非空点集，则 作为 的函数在 上是一致连续的。

推论. 若 是 中的两个非空闭集且其中至少有一个是有界的，则存在 ，使得

定理. (连续延拓定理) 若 是 中的闭集， 是定义在 上的连续函数，且 ，则存在 上的连续函数 满足

2 Lebesgue 测度

2.1 点集的 Lebesgue 外测度

定义. (Lebesgue 外测度) 设 。若 是 中的可数个开矩体，且有 则称 为 的一个 -覆盖（显然这样的覆盖有很多，且每一个 覆盖 确定一个非负广义实值 （可以是 ， 表示 的体积））称 为点集 的 Lebesgue 外测度，简称外测度。

例. (常见点集的外测度)

1. 单点集的外测度为零，即 ；
2. n-1 维超平面块的外测度为零，即 ；
3. 设 是 中的开矩体， 是闭矩体，则 ；

定理. ( 中点集的外测度性质)

1. 非负性：；
2. 单调性：若 ，则 ；
3. 次可加性：。

推论. 若 为可数点集，则 。

引理. 设 以及 。令 ，每个开矩体 的边长 ，则 。

定理. (距离外测度性质) 设 是 中的两个点集。若 ，则 。

定理 (平移不变性) 设 。记 ，则

定理. (数乘可交换) 设 ，记 ，则 。

2.2 可测集与测度

定义. (Carathéodory 条件) 设 。若对任意的点集 ，有 则称 为 Lebesgue 可测集（或 -可测集）简称为可测集。其中的 称为试验集（这一定义可测集的等式也称为 Carathéodory 条件）可测集的全体称为可测集类，简记为 。

命题. (可测集的等价定义)

1. ；
2. ；
3. ；
4. ；
5. ；
6. ；

命题. 若 ，则 。即：零测集都是可测集。

推论. (Carathéodory 条件的推论)

1. 当两个集合由一个可测集分离开时，其外测度就有可加性：若 ，则有
2. 当 与 是互不相交的可测集时，对任一集合 有 。

定理. (可测集的性质)

1. ；
2. 若 ，则 ；
3. 若 ，则 以及 皆属于 （由此知，可测集任何有限次取交、并运算后所得的集合皆为可测集）
4. 若 ，则其并集、交集也属于 （由此知，可测集任何可数次取交、并运算后所得的集合皆为可测集）。若进一步有 ，则即 在 上满足可数可加性（或称为 -可加性）
5. 中可测集类构成一个 -代数。

定义. (Lebesgue 测度) 对于可测集 ，其外测度称为测度，记为 。这就是通常所说的 上的 Lebesgue 测度。

定理. (单调可测集合列极限与测度换序定理)

1. (递增可测集列的测度运算) 若有递增可测集列 ，则
2. (递减可测集列的测度运算) 若有递减可测集列 ，则

推论. (可测集合列的 Fatou 引理) 设 是可测集列，则

2.3 可测集与 Borel 集的关系

引理. (Carathéodory 引理) 设 是开集，，令 则

定理. 非空闭集 是可测集。

推论. Borel 集是可测集。

定理. (外测度的正则性) 若 ，则存在包含 的 集 ，使得 （此时我们也称 为 的等测包）

推论. (一般集合列的 Fatou 引理) 设 ，则

推论. (单调集合列极限与外测度换序定理) 若 是单调集合列，则

定理. (测度的平移不变性) 若 ，则 且

2.4 正测度集与矩体的关系

定理. 设 是 中的可测集，且 ，则存在矩体 ，使得

定理. (Littlewood 第一原则) 是 中测度有限的可测集当且仅当 ，存在有限个互不相交的开区间之并 满足

定理. (Steinhaus 定理) 设 是 中的可测集，且 。作（向量差）点集 则存在 ，使得 。

2.5 不可测集

例. (不可测集) 设 为 中的有理点集。对于 中的点 与 ，若 ，则记为 。根据这一等价关系 “” 将 中一切点分类，凡有等价关系者均属一类（例如 本身即为其中一类）现在根据选择公理，在每一类中取出一点且只取一点形成点集，并记为 ，则 为不可测集。

2.6 连续变换与可测集

定义. (连续变换) 设有变换 。若对任一开集 ，逆像集 是一个开集，则称 是从 到 的连续变换。

定理. 变换 是连续变换的充分必要条件是，对任一点 以及任意的 ，存在 ，使得当 时，有

定理. 设 是连续变换。若 是 中的紧集，则 是 中的紧集。

推论. 设 是连续变换。若 是 集，则 是 集。（可数划分）

推论. 设 是连续变换。若对 中的任一零测集 ， 均为零测集（ 具有 Lusin 性质）则对 中的任一可测集 ， 必为可测集。

定理. 若 是非奇异（可逆）线性变换，，则 。

推论. 设 是非奇异（可逆）线性变换，，则 且有

3 可测函数

3.1 可测函数的定义及其性质

定义. (可测函数) 设 是定义在可测集 上的广义实值函数。若对于任意的实数 ，点集 是可测集，则称 是 上的可测函数，或称 在 上可测。

定理. 设 是可测集 上的函数， 是 中的一个稠密集。若对任意的 ，点集 都是可测集，则对任意的 ，点集 也是可测集。

定理. 若 是 上的可测函数，则下列等式中左端的点集皆可测：

1. ；
2. ；
3. ；
4. ；
5. ；
6. ；
7. ；
8. 。

定理.

1. 设 是定义在 上的广义实值函数，若 在 上均可测，则 也在 上可测；
2. 若 在 上可测， 是 中可测集，则 看做是定义在 上的函数在 上也是可测的。

定理. (可测函数的运算性质-1) 若 是 上的（广义）实值可测函数，则下列函数：

1. ；
2. ；
3. ； 都是 上的可测函数。

定理. (可测函数的运算性质-2) 若 是 上的可测函数列，则下列函数：

4. 都是 上的可测函数。

推论. (函数列极限保可测) 若 是 上的可测函数列，且有 则 是 上的可测函数。（条件收敛可以减弱为几乎处处收敛）

命题. (绝对可测性) 当 在 上可测时， 也在 上可测；但反之不然：反例：任取不可测集 ，。

命题. 若 是定义在 上的实值函数，满足：

1. 对固定的 ， 是 上的连续函数；
2. 对固定的 ， 是 上的可测函数； 则 是 上的可测函数。

例.

1. 设 是可测集，若 是 上的连续函数，则 是 上的可测函数（可测集上连续函数可测）
2. 设 是可测集，若 是 上的单调函数，则 是 上的可测函数（可测集上单调函数可测）

定义. (几乎处处) 设有一个与集合 中的点 有关的命题 。若除了 中的一个零测集以外， 皆为真，则称 在 上几乎处处是真的，并简记为 。

1. (几乎处处相等) 设 是定义在 上的可测函数。若有则称 与 在 上几乎处处相等，也称为 与 是对等的，记为
2. (几乎处处有限) 设 是定义在 上的可测函数。若有则称 在 上是几乎处处有限的，记为注意， 与 是不同的。后者蕴含前者，但反之不然。

定理. 设 是定义在 上的广义实值函数， 是 上的可测函数。若 则 在 上可测。

命题. (局部有界化) 设 ， 是 上的可测函数，且有 ，则对任给的 ，存在 以及自然数 ，使得

定义. (简单函数) 设 是 上的实值函数。若 是有限集，则称 为 上的简单函数。设 是 上的简单函数，且有 此时可将 记为 从而简单函数是有限个特征函数的线性组合。特别地，当每个 是矩体（这里允许取无限大的矩体）时，称 是阶梯函数。若 是 上的简单函数，且每个 都是可测集，则称 是 上的可测简单函数。

命题. (简单函数的性质) 若 是 上的简单函数，则 ， 也是 上的简单函数。

定理. (简单函数逼近定理)

1. 若 是 上的非负可测函数，则存在非负可测的简单函数渐升列 ：使得
2. 若 是 上的可测函数，则存在可测简单函数列 ：使得若 还是有界的，则上述收敛是一致的。

定义. 对于定义在 上的函数 ，称点集 的闭包为 的支集，记为 。若 的支集是有界（即支集是紧集）的，则称 是具有紧支集的函数。

推论. 简单函数逼近定理中的可测简单函数列中的每一个均可取成具有紧支集的函数。

3.2 可测函数列的收敛

定义. (可测函数列的收敛)

1. (几乎处处收敛) 设 是 上的广义实值函数。若存在 中的点集 ，有 及则称 在 上几乎处处收敛于 ，并记为；
2. (依测度收敛) 设 是 上几乎处处有限的可测函数。若对任给的 ，有即则称 在 上依测度收敛于 ，记为 ；
3. (近一致收敛) 设 是 上几乎处处有限的可测函数。若对任给的 ，存在 且 ，使 在 上一致收敛于 ，即则称 在 上近一致收敛于 ，记为 。

命题. (依测度收敛的性质) (对可测集 上的广义测度 )

1. ；
2. ；
3. ；
4. ；
5. ；
6. ；
7. 。

定理. (Egorov 定理) 设 是 上几乎处处有限的可测函数：

1. 若 且 ，则对任给的 ，存在 的可测子集 ，使得 在 上一致收敛于 。
2. 若 且 ，则对任给的 ，存在 的可测子集 ，使得 在 上一致收敛于 。

定理. (Riesz 定理) 若 在 上依测度收敛于 ，则存在子列 ，使得

定理. (可测函数列收敛的关系)

1. () 设 是 上几乎处处有限的可测函数。若 在 上近一致收敛于 则 在 上依测度收敛于 。(定义验证)
2. () 设 是 上几乎处处有限的可测函数。若 在 上近一致收敛于 则 在 上几乎处处收敛于 。(反证+定义验证)
3. () 设 ， 是 上几乎处处有限的可测函数。若 在 上几乎处处收敛于 则 在 上近一致收敛于 。(Egorov)
4. () 设 ， 是 上几乎处处有限的可测函数。若 在 上几乎处处收敛于 则 在 上依测度收敛于 。(3+1)
5. () 设 是 上几乎处处有限的可测函数。若 在 上依测度收敛于 则 存在一子列 在 上几乎处处收敛于 。(Riesz)
6. () 设 是 上几乎处处有限的可测函数。若 在 上依测度收敛于 则 存在一子列 在 上近一致收敛于 。

定义. (依测度 Cauchy（基本）列) 设 是 上几乎处处有限的可测函数列。若对任给的 ，有 则称 为 上的依测度 Cauchy（基本）列。

定理. 若 是 上的依测度 Cauchy 列，则在 上存在几乎处处有限的可测函数 ，使得 在 上依测度收敛于 。

命题. ( 上复合函数的收敛性) 设 是 上的可测函数列。

1. 若 在 上近一致收敛（依测度收敛）于 ，，则 在 上近一致收敛（依测度收敛）于 ；
2. 若 在 上一致收敛（近一致收敛 / 依测度收敛）于 ，，则 在 上一致收敛（近一致收敛 / 依测度收敛）于 。

3.3 可测函数与连续函数的关系

定理. (Lusin 定理) 若 是 上的几乎处处有限的可测函数，则对任给的 ，存在 中的闭集 ，，使得 是 上的连续函数。

推论. 若 是 上几乎处处有限的可测函数，则对任给的 ，存在 上的一个连续函数 ，使得 若 还是有界集，则可使上述 具有紧支集。

推论. 若 是 上几乎处处有限的可测函数，则存在 上的连续函数列 ，使得 特别地，还可要求上述 具有紧支集。

定理. 设 是 上的连续函数， 是 上的实值可测函数，则复合函数 是 上的可测函数。

定理. 设 是连续变换且满足：当 且 时， 是零测集。则若 是 上的实值可测函数，有 是 上的可测函数。

推论. 设 是 的实值可测函数， 是非奇异线性变换，则 是 上的可测函数。

4 Lebesgue 积分

4.1 非负可测函数的积分

定义. (非负可测简单函数的积分) 设 是 上的非负可测简单函数，它在点集 上取值 ： 若 ，则定义 在 上的积分为：

定理. (非负可测简单函数积分的线性性质) 设 是 上的非负可测简单函数， 在点集 上取值 ， 在点集 上取值 ，，则有：

1. 若 是非负常数，则

定理. (非负可测简单函数积分的区域换序定理) 若 是 中的递增可测集列， 是 上的非负可测简单函数，则

定义. (非负可测函数的积分) 设 是 上的非负可测函数，定义 在 上的积分为 这里的积分可以是 ；若 ，则称 在 上是可积的，或称 是 上的可积函数。

命题. (非负可测函数积分的性质)

1. (单调性) 设 是 上的非负可测函数。若 ，则
2. 若 是 上的非负可测函数， 是 中可测子集，则
3. 当且仅当 或 在 上几乎处处等于零；(这一结论当且仅当非负时才成立)
4. 设 是 上的非负可测函数。若 ，则

推论. 设 是 上的非负可测函数，则

1. (控制可积性) 若存在 上非负可积函数 ，使得则 在 上可积；
2. (有界可积性) 若 在 上几乎处处有界，且 ，则 在 上可积。

定理. 若 是 上的非负可积函数，则 在 上几乎处处有限。

定理. (Beppo Levi 非负渐升列积分定理) 设有定义在 上的非负可测函数渐升列： 且有 ，则

推论. 设有定义在 上的非负可积函数渐降列： 且有 ，则

定理. (非负可测函数积分的线性性质) 设 是 上的非负可测函数， 是非负常数，则

定理. (非负可测函数逐项积分定理) 若 是 上的非负可测函数列，则

推论. (非负可测函数分段积分定理) 设 ，。若 是 上的非负可测函数，则

定理. (Fatou 引理) 若 是 上的几乎处处非负的可测函数列，则

定理. (非负可积函数的等价定义) 设 是 上的几乎处处有限的非负可测函数，。在 上作如下划分： 其中 。若令 则 在 上是可积的当且仅当级数 此时有

4.2 一般可测函数的积分

定义. (一般可测函数的积分) 设 是 上的可测函数。若积分 中至少有一个是有限值，则称 为 在 上的积分；当上式右端两个积分值皆为有限时，则称 在 上是可积的，或称 是 上的可积函数。在 上可积的函数的全体记为 。

命题.

1. (绝对可积性) 设 是 上的可测函数，则 可积当且仅当 可积，且有：
2. (有界可积性) 设 是 上的有界可测函数，且 ，则 ；
3. (绝对控制可积性) 设 是 上的可测函数，，且 （ 称为 的控制函数）则 。

命题. (可积函数的性质)

1. 若 ，则 在 上是几乎处处有限的。
2. 若 ，且 ，则
3. 设 ，则或说对任给 ，存在 ，使得

定理. (积分的线性性质) 若 ，则

定理. (一般可积函数的单调收敛定理) 设 。若有 则

定理. (一般可积函数的 Fatou 引理) 设 。若 ，则

定理. (一般可积函数分段积分定理) 设 , ，。若 在 上可积，则

定理. (一般可积函数的绝对连续性) 若 ，则对任给的 ，存在 ，使得当 中子集 的测度 时，有

定理. (积分变量的平移变换定理) 若 ，则对任意的 ，，有

定理. (Lebesgue 控制收敛定理) 设 ，且有 若存在 上的可积函数 ，使得 则 ，且 进一步地，还可证明上述收敛是 的。

推论. (Lebesgue 有界收敛定理) 设 是 上的可测函数列，，且有： 则 ，且 进一步地，还可证明上述收敛是 的。

推论. (广义 Lebesgue 控制收敛定理) 设 和 是 上的可测函数列，，且有：

1. ；
2. ；
3. ； 则 ，且

定理. (依测度收敛型控制收敛定理) 设 ，且 在 上依测度收敛于 。若存在 ，使得 则 ，且有 进一步地，还可证明上述收敛是 的。

推论. (依测度收敛与 收敛的关系) () 设 是 上的可积函数。若 在 上 收敛于 则 在 上依测度收敛于 。(定义) () 设 是 上的可积函数。若 在 上依测度收敛于 且存在 ，使得 ，则 在 上 收敛于 。(控制收敛定理)

推论. (一般可积函数的逐项积分定理）设 。若有 则 在 上几乎处处收敛；若记其和函数为 ，则 ，且有

4.3 可积函数与连续函数的关系

定理. (可积函数的逼近定理) 若 ，则对任给 ，存在 上具有紧支集的连续函数 ，使得 一般地，若 ，则对任给的 ，存在 的分解： 其中 是 上具有紧支集的（一致）连续函数， 在 上的积分小于 。(可积函数在 意义下有（紧支集）连续函数逼近)

推论. 设 ，则存在 上具有紧支集的连续函数列 ，使得：

1. ；
2. 。

推论. 设 ，则存在其支集在 内的连续函数列 ，使得：

1. ；
2. 。

推论. 若 ，则存在具有紧支集的阶梯函数列 ，使得：

1. ；
2. 。

定理. (平均连续性) 若 ，则有

4.4 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系

定理. (Riemann 可积的充要条件) 若 是定义在 上的有界函数，则 在 上 Riemann 可积的充分必要条件是 在 上的不连续点集是零测集。即 在 上几乎处处连续。

推论. 上的单调函数是 Riemann 可积的。

定理. 若 在 上是 Riemann 可积的，则 在 上是 Lebesgue 可积的，且其积分值相同。

定理. (无界区域上 Riemann 可积的充分条件) 设 是递增可测集列，其并集是 ，又 若极限 存在，则 ，且有

4.5 重积分与累次积分的关系

定理. (Tonelli 定理) (非负可测函数的情形) 设 是 上的非负可测函数，则有

1. 对于几乎处处的 作为 的函数是 上的非负可测函数；
2. 记 , 则 是 上的非负可测函数；
3. 。

定理. (Fubini 定理) (可积函数的情形）若 ，，则

1. 对于几乎处处的 ， 是 上的可积函数；
2. 积分是 上的可积函数；
3. 我们有

5 微分与不定积分

5.1 单调函数的可微性

定义. (Vitali 覆盖) 设 ， 是一个区间族。若对任意的 以及 ，存在 ，使得 ，则称 是 在 Vitali 意义下的一个覆盖，简称为 的 Vitali 覆盖。

定理. (Vitali 覆盖定理）设 且，。若 是 的 Vitali 覆盖，则对任意的 ，存在有限个互不相交的 ，使得 进一步地，还可以令 。

推论. 设 是有界可测集， 是 的一个 Vitali 覆盖，则存在互不相重（内部互不相交）的可数列 ，使得 。

定义. (Dini 导数) 设 是定义在 中点 的一个邻域上的实值函数，令 分别称它们为 在 点的右上导数，右下导数，左上导数，左下导数。总称为 Dini 导数。

命题. (Dini 导数的性质)

2. 若四个 Dini 导数皆等于同一个有限值，则 在 点是可微的；
3. 若 为有限值，则 在 点的右导数存在；
4. 若 为有限值，则 在 点的左导数存在；
5. 若 是 上的递增函数，则其 Dini 导数可测；

命题. (Lagrange 中值定理的推广) 设 ，则存在 ，使得 其中，。

定理. (Lebesgue 定理) 若 是定义在 上的递增（实值）函数，则

1. 几乎处处有限，即 的不可微点集为零测集；
2. 可积，且有

定理. (Fubini 逐项微分定理) 设 是 上的递增函数列，且 至少在 的两个端点 收敛，则

5.2 有界变差函数

定义. (有界变差函数) 设 是定义在 上的实值函数，作分划 : 以及相应的和 称之为 在 上的变差；作 并称它为 在 上的全变差。若 则称 是 上的有界变差函数（即全体变差形成有界数集）其全体记为 。

定理. 设 ，令 则

命题. (有界变差与可求长的关系) 设 是定义在 上的函数， 的弧段可求长当且仅当 是 上的有界变差函数。

命题. (函数有界变差的充分条件)

1. 若 是 上的可微函数，且 （导函数有界），则 是 上的有界变差函数。
2. 若 是 上的可微函数，且 满足 上的 Lipschitz 条件则 是 上的有界变差函数；
3. 若 是 上的单调函数，则 是 上的有界变差函数；

命题. (有界变差函数的性质)

1. 若 ，则 在 上是有界函数；
2. 若 ， 是两个常数，则 ，且有
3. 若 ，则 ；
4. 若 ，且 ，则 是常数；
5. 若 ，，则 ；
6. 若 ，，有
7. 若 ， 有界且满足则 ，且有

定理. (Jordan 分解定理) 当且仅当 ，其中 与 是 上的递增（实值）函数。特别地，取 分别称 为 的正变差函数和负变差函数。这时 称为 的正规分解。

命题. 若 ，则 几乎处处可微，且

5.3 不定积分的微分

引理. (平均收敛性) 设 ，令 （当 时，令 ）则有

定义. (Lebesgue 点) 称点 为 的 Lebesgue 点，若在点 成立：

命题. 的连续点都是 Lebesgue 点，但反之不然。

推论. 若 ，则对 中几乎处处的点 ，点 为 的 Lebesgue 点。

定理. 设 ，令 则 且上式成立的充要条件是 是 的 Lebesgue 点。

5.4 绝对连续函数与微积分基本定理

引理. 设 在 上几乎处处可微，且 。若 在 上不是常数函数，则必存在 ，使得对任意的 ， 内存在有限个互不相交的区间： 其长度的总和小于 ，满足

定义. 设 是 上的实值函数。若对任给 ，存在 ，使得当 中任意有限个互不相交的开区间 满足 时，有 则称 是 上的绝对连续函数，其全体记为 。

命题. (函数绝对连续的充分条件)

1. 若 是 上的可微函数，且 （导函数有界），则 是 上的有界变差函数。
2. 若 是 上的可微函数，且 满足 上的 Lipschitz 条件则 是 上的绝对连续函数；
3. 若 是 上的可积函数，则其不定积分是 上的绝对连续函数。（这与前述积分的绝对连续性是等价的）
4. (Banach-Zaretsky) 是 上的连续、有界变差函数且具有 Lusin 性质当且仅当 是 上的绝对连续函数；

命题. (绝对连续函数的性质)

1. 若 ，则 在 上是连续函数；
2. 若 ， 是两个常数，则 ；
3. 若 ，则 ；
4. 若 ，则 ；
5. 若 ，且 ，则 是常数；

命题. 若 是 上的绝对连续函数，则 在 上是几乎处处可微的，且 是 上的可积函数。

定理. (微积分基本定理) 是 上的绝对连续函数当且仅当

命题. 若 在 上绝对连续，则弧长

5.5 分部积分公式与积分中值公式

定理. (分部积分公式) 设 皆为 上的可积函数，，令 则

定理. (积分第一中值公式) 若 是 上的连续函数， 是 上的非负可积函数，则存在 ，使得

定理. (积分第二中值公式) 若 是 上的单调函数， 是 上的可积函数，则存在 ，使得

6 空间

6.1 空间的定义与不等式

定义. ( 空间)

1. 设 是 上的可测函数，记称为 的 范数。用 表示使 的 的全体，称其为 空间（ 就是 ）
2. 设 是 上的可测函数，。若存在 ，使得 ，则称 在 上本性有界， 称为 的本性上界。再对一切本性上界取下确界，记为 ，称它为 在 上的本性上确界。用 表示在 上本性有界的函数之全体。

定理. ( 空间的性质)

1. 当 时，有
2. 当 且 时，，且有
3. 若 ，， 是实数，则 。

定理. (Hölder 不等式) 设 ，，则对 ，有 即 特别地，当 或 时有

推论. (反 Hölder 不等式) 设 ，，则对 ，有

推论. (Schwartz 不等式) 若 ，则有

定理. (Minkowski 不等式) 若 ，则

定理. (反 Minkowski 不等式) 若 ，则

定理. (Young 不等式） 设 ，则 其中 表示 与 的卷积。